Pour comprendre ce qui m'amène aujourd'hui à parler du théorème de Gödel, il faut revenir au tout début, alors que cette idée de random book n'avait pas encore germé dans ma tête et que le FTM commençait à peine à m'apparaître en rêve.

FTM : Christophe...

FTM : Christophe...

FTM : Tu dois parler du théorème de Gödel !

J'ai donc commencé par faire semblant de vouloir parler de tout et n'importe quoi. En réalité, ce n'était qu'une couverture pour Gödel. C'était un piège. Haha !

FTM : Et en plus, tu dois expliquer la démonstration !

Ouh, on va bien s'amuser.

FTM : La démonstration de Gödel, pas celle de Turing.

Gudule claque des dents rien que d'y penser.

FTM : Et tu dois parler de théorie des modèles.

On va y passer la nuit. Allez, Gudule, envoie le théorème de Gödel.

Théorème (Gödel, numéro 1) : si vous faites des mathématiques assez « expressives » pour parler de nombres entiers, avec addition et multiplication, alors vous pouvez formuler des énoncés que vous ne pouvez ni démontrer (prouver que c'est vrai), ni réfuter (prouver que c'est faux).

En attendant que Gudule reprenne ses esprits, faisons un petit aparté sur Kurt Gödel (1906 - 1978).

C'était un très, très grand logicien et bien sûr un contributeur important des mathématiques. Vers la fin de sa vie, malheureusement, il est devenu fou. (Non, ce n'est pas la faute de la logique). Il ne mangeait plus rien en pensant que sa nourriture allait l'empoisonner.

Le théorème de Gödel est aux mathématiques ce que le principe d'incertitude d'Heisenberg est à la physique. Dans les années 1920-1930, la révolution de la physique quantique, qui a obligé les physiciens à changer complètement leur intuition sur ce qu'ils pensaient savoir, a été doublée de la révolution de la logique, qui a changé le visage des mathématiques.

L'Allemagne nazie ayant annexé l'Autriche en 1938, la situation se dégrade pour Gödel (comme la plupart des gens intelligents d'ailleurs, décriés pour la corruption de la science avec leurs théories dégénérées... relativité générale et autres, vous voyez le tableau). Il parvient à fuir aux USA en 1940 en prenant le transsibérien et traversant l'Océan Pacifique.

Une anecdote sur la vie de Gödel ? En 1947, il passe un entretien avec un juge pour être naturalisé américain. Pour quelqu'un de son niveau ce devrait être plutôt facile, d'autant qu'il est soutenu par Oscar Morgenstern (célèbre mathématicien économiste) et un certain Albert Einstein (que vous connaissez peut-être, et qui était déjà connu à l'époque). Einstein sera d'ailleurs un très grand copain. Gödel révise donc à fond la constitution américaine. Voici à peu près comment ça se passe (je brode un peu).

Gödel : Albert, j'ai trouvé une faille logique qui pourrait permettre de transformer les États-Unis en dictature tout en suivant la constitution.

Einstein : motus. Si tu dis ça au juge, ça m'étonnerait qu'il veuille bien t'accorder la nationalité.

Gödel : bah. Mais c'est pas logique !

Le juge : Alors, monsieur Gödel, autrichien, blabla. Tiens c'est quoi, la situation politique en Autriche d'ailleurs ?

Gödel : c'est très simple. On avait une démocratie, qui s'est muée en dictature.

Le juge : heureusement que ça ne pourrait pas arriver dans notre bô pays américain.

Gödel : eh bien justement, je peux prouver le contraire.

Einstein : hem. Hem. Hem. (Tousse très fort)

Le juge : hem. Hem. Hem. Bien, monsieur Gödel. On va, euh... on va arrêter là, n'est-ce pas ? Monsieur Einstein, je peux avoir un autographe ?

Bon, Gödel a aussi essayé de faire une preuve de l'existence de Dieu (je vous ai dit qu'il était devenu un peu fou vers la fin de sa vie). En fait, ses propres découvertes (incomplétude) ont eu une influence tellement dévorante sur lui qu'elles ont commencé à changer sa vision du monde.

Avant de poursuivre, donc, sachez que le théorème de Gödel rend fou (et provoque sans doute des visions du FTM).

Il y a en fait deux théorèmes de Gödel. Le second dit en substance :

Théorème (Gödel, numéro 2) : la cohérence de l'arithmétique est un exemple d'énoncé dont vous ne pouvez pas prouver qu'il est vrai, ou faux. Autrement dit, dès que vous avez un langage mathématique assez fort pour parler d'entiers (addition et multiplication), il n'existe pas de preuve dans ce même langage du fait que vous ne pouvez pas prouver une chose et son contraire.

Notons que si vous êtes dans le monde des entiers avec juste l'addition (arithmétique de Presburger), le premier théorème de Gödel ne tient plus. De tout énoncé vous pouvez montrer qu'il est vrai, ou faux. Mais nous sommes à peu près d'accord qu'un monde mathématique dans lequel vous n'avez même pas la multiplication bah, c'est assez déprimant.

Gudule : maître, j'ai mal à la tête. Comment Gödel a-t-il pu démontrer quelque chose sur les mathématiques ? Pour faire ça, il faut utiliser des mathématiques, n'est-ce pas ?

Oui, c'est le tout piti problème (que je vais balayer sous le tapis). La démonstration de Gödel, comme tout un tas de trucs qu'on fait quand on parle de « démontrabilité », de preuves, etc, s'appliquent aux mathématiques de tous les jours. Et font elles-mêmes appel à des notions mathématiques. Ce sont donc des méta-mathématiques. Il faut se convaincre que ce n'est pas grave, mais si vous sentez l'arnaque, c'est tout à fait normal.

Pour comprendre d'où tout ça vient, il faut avoir une petite idée de ce qu'est un langage mathématique et un monde mathématique. D'où ma branche préférée des maths (et mon thème de travail en ce moment, d'ailleurs) : la théorie des modèles. Avant d'en parler, voici pour vous allécher toutes les raisons pour lesquelles le théorème de Gödel est pour moi le meilleur de tous :

– il est fondamental et a surpris tout le monde quand il a été démontré (comme la physique quantique, on y revient ! )

– il est méta-mathématique, et ça ça en jette (ce terme est chouette)

– il est plein de théorie des modèles, et j'adore ça (c'est personnel, je vous l'accorde)

– il utilise un procédé diagonal (Gudule : C'est kôa un procédé diagonal ?)

– il a cassé un des 23 problèmes de Hilbert (Gudule : C'est kôa les problèmes de Hilbert ? )

Si vous avez fait des maths, si vous avez entendu parler de Cantor, si vous avez entendu le mot « procédé diagonal » dans votre vie, vous savez ce qui se passe quand on dit ça. Tous les matheux entrent en transe et commencent à baver (moi y compris).

Enfin, les problèmes de Hilbert, c'est la liste dressée par l'illustre mathématicien David Hilbert, pour un congrès de 1900, des 23 problèmes qui allaient occuper les matheux pendant le siècle à venir. Devinez quoi, la conjecture de Goldbach en faisait partie...

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À suivre.

C'est intéressant ? C'est choquant ? C'est normal. Comme il s'agit d'un des thèmes les plus difficiles et fondamentaux des mathématiques... n'hésitez pas à m'aider à rendre ça moins effrayant :)