Imaginez que vous voulez mettre sur pied une théorie mathématique. Vous avez dans l'idée de parler, par exemple, des entiers. Vous allez inventer la théorie des entiers.

Gudule : allons-y !

Cette théorie, vous la formalisez de la façon suivante : vous convenez de symboles, de variables, de relations (par exemple « x est plus petit que y »), d'opérations (par exemple, l'addition, la multiplication), et vous postulez des axiomes. Par exemple, l'addition est commutative, ce qui veut dire :

Pour tous les entiers x, y, x + y = y + x

Oui, on met des noms qui déchirent sur des propriétés qui vous semblent évidentes, et c'est bien pour insister sur le fait qu'elles ne sont pas évidentes. Nous pourrions vivre dans un monde sans commutativité, sacrebleu ! Gudule, invente-nous un monde sans commutativité. Disons, avec un tardigrade, un yaourt et un +.

Gudule :

yaourt + yaourt = tardigrade

tardigrade + yaourt = tardigrade

yaourt + tardigrade = yaourt

tardigrade + tardigrade = tardigrade

Merci, Gudule.

Bref. Les axiomes sont des formules logiques, des énoncés. Des phrases, au sens strict du terme. Elles n'ont a priori pas plus de valeur que des paroles en l'air. En revanche, il peut exister des mondes mathématiques effectivement décrits par ces phrases, par cette théorie, par cette axiomatisation. Par exemple, les entiers.

Mais les entiers sont un exemple qui fait mal à la tête. Qu'en pense Boromir ?

Axiomatiser les entiers est plus difficile que vous ne le pensez. C'est à cause de ça que le théorème de Gödel est vrai. Pour l'heure prenons donc, par exemple, une théorie qui décrit un monde d'objets ordonnés, que nous appellerons les schtroumpfs.

Nous avons dans l'idée que cette théorie décrit un village de schtroumpfs. Pour rester simple, nous allons axiomatiser le village de la façon suivante : on peut ordonner les schtroumpfs en fonction de leur âge, et il existe un grand schtroumpf qui est plus vieux que tous les autres. Je vais noter ≤ ma relation « âge inférieur où égal à » qui me permet d'ordonner les schtroumpfs.

En d'autres termes :

– pour tous schtroumpfs, x, y, z, si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (on dit que c'est transitif)

– il existe un grand schtroumpf G tel que pour tout schtroumpf x, x ≤ G

Cette théorie est toute pitite et toute gentille. Et puis de toute façon ce ne sont que deux bêtes axiomes.

La théorie n'est rien sans les « vrais » objets qu'elle décrit. Les objets décrits par une théorie sont des modèles de la théorie. Ce sont "les objets qui vérifient tous les énoncés de cette théorie". Les objets que l'on étudie dans le reste des maths sont tous les modèles de certaines théories : théorie des groupes, théorie des graphes, etc. Pour nous, donc, les villages de schtroumpfs sont les structures qui vérifient les deux axiomes des schtroumpfs : il existe une relation d'ordre des schtroumpfs, transitive, et un grand schtroumpf.

De la même façon que nous avons créé la théorie des schtroumpfs, nous pouvons penser à la théorie des larbins (premier axiome : les larbins obéissent à leur patron) dont Gudule serait un modèle, la théorie des produits laitiers (premier axiome : les produits laitiers sont nos amis pour la vie) dont un yaourt serait un modèle, et la théorie des dieux dont le FTM serait un modèle (unique axiome : il n'existe rien de supérieur au FTM. Râmen).

En résumé, la définition de Gudule de la théorie des modèles c'est ça :

Définition (Gudule) : la théorie des modèles, c'est faire le pont entre la logique, des phrases absconses, et de « vrais » bons objets matheux, comme les yaourts ou les schtroumpfs.

Nous sentons qu'avec ce bon formalisme on va réussir à faire des choses bien. En particulier, on va réussir à dire ce que veut dire être vrai et ce que veut dire être démontrable :

– si j'ai une théorie et une formule logique, ma formule logique est vraie dans cette théorie si elle est vérifiée dans chaque modèle de la théorie.

– ma formule est démontrable si elle peut être démontrée avec les règles de la logique (qui sont fixées et connues).

Gudule : mais ce sont deux choses différentes !

Exactement, Gudule. Être vrai et démontrable sont deux choses différentes. C'est ce que les gens ont compris dans les années 1920-30 et grâce à Gödel et consorts.

Énonçons maintenant un beau théorème de complétude, qui n'est pas évident en soi :

Théorème : Dans une théorie, une formule est vraie (dans tous les modèles, donc) si et seulement si elle est démontrable.

Alors là, tout le monde est perdu.

Gudule : je suis perdu.

Je parle de l'incomplétude et j'énonce la complétude.

Gudule : je suis vraiment perdu.

Mais c'est justement ça la base du théorème de Gödel : les modèles non-standards.

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À suivre...