Gudule : chers lecteurs, avant de parler un peu de l'axiome du choix, je tenais à mettre les choses au clair.

Depuis quelques temps, PJAM connaît une popularité croissante, et c'est très bien : plus de gens qui s'adonnent aux saintes mathématiques, plus d'adeptes du FTM, plus de produits laitiers consommés, c'est bon pour la santé.

Cependant, une certaine personne que je ne nommerai pas essaie de se faire de la pub sur mon dos.

« Salut, moi c'est CN. J'écris des fictions ! N'hésitez pas à passer les voir aussi :) »

C'est ce qui s'appelle tenter de profiter indûment de ma popularité. C'est honteux !

Entre CN.

Qu'est-ce que tu disais, Gudule ?

Gudule : oh, rien, rien.

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ZF, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, est une bonne axiomatisation de la théorie des ensembles et donc des fondements même des maths. Elle n'est pas toute simple mais elle fonctionne bien. On la trouve en fait sous deux grandes versions : avec ou sans axiome du choix.

Gudule : ce supplément coûte un peu plus cher, mais je vous le conseille.

ZF + axiome du choix donne ZFC.

ZF sans axiome du choix donne juste ZF.

Si ces deux théories existent, c'est parce que l'axiome du choix est indépendant : il existe un monde avec, et un monde sans. Dans les années 30, Gödel a montré que ZF + AC est cohérente (donc, ne provoque pas de contradiction) si ZF l'est. Donc l'axiome du choix ne provoque pas de remous dans la théorie des ensembles. Dans les années 60, Cohen (le même que celui qui démontra que l'hypothèse du continu était indémontrable) a montré que ZF + non(AC) est cohérente si ZF l'est. Des axiomes de ZF, vous ne pouvez réfuter ni prouver l'axiome du choix, c'est donc bien un axiome « à part ».

Gudule, l'axiome du choix.

Gudule : pour tout ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction de choix qui : à quelqu'un dans X, associe un de ses éléments. Au choix.

Par exemple, si je considère l'ensemble des yaourts aux fruits classés de la façon suivante : les yaourts aux fraises, les yaourts aux poires, les yaourts aux bananes, les yaourts aux cerises... et cætera, il existe une fonction qui à un de ces sous-ensembles, à chaque saveur, associe un de ses yaourts.

Maître, j'ai le sentiment que vous vous moquez du monde. C'est ridicule, comme axiome. Quand vous ouvrez le frigo, parmi tous les yaourts aux poires, vous pouvez sélectionner un yaourt aux poires pour le manger.

Mais on parle bien de TOUTE collection. Donc infinie. Et donc n'importe quel infini (dénombrable, indénombrable). Là ça devient plus marrant. L'axiome du choix va donc intervenir pour construire des objets assez étranges. Il va aussi intervenir dans des preuves non constructives qui disent :

« il existe un objet avec ces propriétés, mais vous n'avez pas de construction explicite. Il existe, c'est tout. »

Gudule : un petit exemple, maître ? Le public s'ennuie.

Hem, par exemple, euh... les cinq pièces mystérieuses du théorème de Banach-Tarski.

Gudule : voir les épisodes précédents.

Plus généralement, les objets au volume « non mesurable » que l'on rencontre sont tous définis en utilisant l'axiome du choix.

Gudule : sans lui, le monde serait donc plus beau du point de vue de la mesure des volumes.

Non. Sans l'axiome du choix, la théorie de la mesure de Lebesgue (notre notion usuelle de volume) est elle-même menacée à cause d'histoires très sombres liées à sa définition... à titre d'exemple, dans ZF sans axiome du choix, il existe un « modèle » dans lequel on peut décomposer les réels comme la réunion d'un ensemble dénombrable (comptable) d'ensembles dénombrables, et ça ne colle plus. Il faut donc ajouter un correctif à ZF, un autre axiome peut-être moins puissant que celui du choix, mais en bref, c'est l'horreur.

Gudule :

Il y a trois grandes formulations équivalentes de l'axiome du choix. Elles ont beau être équivalentes, elles n'ont pas le même degré d' « évidence » :

– la formulation de base

– le théorème de Zermelo : dans tout ensemble, vous pouvez ordonner les éléments de telle façon que tout groupe d'éléments a un plus petit élément.

Gudule : là encore, ça a l'air stupide parce qu'on pense à des ensembles finis ou énumérables... mais il faut songer à des ensembles infinis et même « très infinis »...

– le lemme de Zorn : si dans un ensemble ordonné, toute chaîne d'éléments croissante (pour cet ordre) admet un majorant (quelqu'un qui dépasse tout ça), alors il y a dans cet ensemble un élément maximal (qui écrase tout le monde).

Gudule arrive dans un village infini de schtroumpfs et découvre que quand il ordonne un nombre quelconque de schtroumpfs, même infini, par leur âge, il y en a toujours un qui est encore plus vieux (qu'il l'ait sous la main ou non). Cela veut dire qu'il existe un grand schtroumpf plus vieux que tout le monde.

Les 5 pièces de Banach-Tarski sont effectivement construites avec l'axiome du choix. Il n'y a pas qu'elles, mais la plupart des résultats qui y font appel sont un peu moches. Je vous enjoins donc à me croire sur parole si je dis qu'ils sont nombreux.

FTM : je confirme qu'ils sont nombreux. Râmen.

Prenez par exemple les réels. Les nombres à virgule avec (potentiellement) une infinité de chiffres. Parmi les réels, considérez les rationnels (les fractions). Eh bien, grâce à l'axiome du choix, vous savez qu'il existe une famille infinie de réels (nommons-la les « hipsters ») telle que tout réel se « décompose » sur cette famille : r = un rationnel * hipster1 + un autre rationnel * hipster2 + ... (à l'infini).

Mais il vous est impossible de construire explicitement les hipsters, l'axiome du choix vous donne juste leur existence.

Un dernier mot, Gudule ?

Gudule : les hipsters sont-ils rationnels ou pas ?

Un dernier mot sérieux, Gudule ?

Gudule : vous pouvez « croire » ou non à l'axiome du choix, au sens ou vous pouvez préférer dans un monde dans lequel il n'est pas postulé. Mais il y a toujours des problèmes de toute façon. Voilà.

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J'ai tendance à de plus en plus faire appel à des choses "vues précédemment" et je m'en excuse. Mais je ne peux pas simplement passer sous silence certains trucs... j'espère que ça ne rend pas le tout illisible.

Un grand merci à whitevador pour m'avoir rappelé que c'était avec l'axiome du choix qu'on avait les parties non-mesurables et le théorème de Banach-Tarski (du coup, je suis allé regarder si un monde sans axiome du choix était plus beau et... la situation est vraiment pire que je ne le pensais).

25 segments de maths ! Gudule est plus rapidement à court de memes que d'idées...