1.Các đường cong đệ quy cơ bản:

a)Đường cong Koch:

- Đường cong Koch được nhà toán học Thụy Sỹ Helge van koch phát hiện năm 1904.

Ko ___________ -Ko là đoạn thẳng đơn vị

- Kn-> kn-1 chóp đều tam giác.

K1 Chia mỗi đường thẳng thành 3 phần bằng nhau và thay đoạn giữa thành một chóp tam giác đều.

K2 Gọi ln là độ dài Kn

Có HTTH ln = 4/3 ln - 1, lo = 1

Giải được ln= (4/3)^n => l∞ = ∞

Các bước sinh kn độ dài l hướng

+ vẽ kn-1 độ dài l/3

+ quay trái 60 độ

+ quay phải 120 độ

+ vẽ kn-1 độ dài l/3

+ quay trái 60 độ

+ vẽ kn-1 độ dài l/3

Chương trình sinh:

# include <stdio.h>

# include <graphic.h>

# include < math.h>

# define RADS 0.01745 // 1 độ

Void k (intn, float l, float d);

Void main ()

{ gd = 0, gm, n= 8;

Float l = 100, d= 0;

Initgraph (&gd, &gm, " "); move to (300,200)

K(n,l,d); grtchar();

Closegraph();

}

Void k(int n, float d, foat d)

{

Ì(n>0){

K(n - 1, l/3, d) ; d+ = 60;

k(n - 1, l/3, d) ; d- = 120;

K(n - 1, l/3, d);

} else linesel (int (l*cos (d*KADS)), int (l*sn(d*KADS)));

3 đường cong kn độ dài l hợp nhau tam giác đều tạo thành hình vòng tuyết.

b)Đường cong c.

Co là đt đơn vị

Cn <- cn-1 chóp tam giác vuông con

Thay mỗi đoạn thẳng bởi

...

- gọi ln là độ dài cn

- có htth ln=√2 ln-1, lo=1

- giải được ln=(√2)ⁿ => l∞=∞

- các bước sinh cn độ dài l = d:

+quay trái 45 độ

+vẽ cn-1 độ dài l √2/2

+quay phải 90 độ

+vẽ cn-1 độ dài l √2/2

+quay trái 45 độ để trả hướng

Chương trình :

# define FACT o,7071 // √2/2

Void c(intn, foat l, float d)

{ if (n>0) {

D+ = 45;

C( n-1, l*FACT, d);

d- = 90;

C( n-1, l*FACT, d);

d-= 45;

} else linerel (int (l*cos(d*RADS)), int(l*sin(d*RASD)))

}

c) Đường cong rồng (Dragon)

Thường vẽ v theo từng đoạn

...

Với dn vân them tham số đenta = +_ 1 để đánh dấu đổi hướng.

# define FACT 0,7071 // √2/2

Void D( int, float l, float d, int s)

{ if (n>0) {

Dt = 45 * s;

D(n-1,l*FACT, d, 1);

d-=90*s;

d(d-1,l*FACT, d, -1);

} else linerel (int (l*cos(d*RADS)), int(l*sin(d*RASD)))

}

2.Các tính chất

- Trong chứng minh các tính chất dùng phương trình tham số của đường thẳng.

Phương trình của đường thẳng qua 2 điểm A,B là

P= (l-t).A+tB; t thuộc R

T chính là tỉ lệ chia đoạn thẳng ab của điểm P

Phương trình đường thẳng qua điểm A có vecto chỉ phương beta là

P = A + betat; t thuộc R

Tính chất 1. Bảo toàn đường thẳng ( Ảnh của 3 đường thẳng hàng là 3 đường thẳng hàng).

Ptdt AB

P= (1-t).A+tB

T=(M,Tr); p->Q có

Q=PM + TR

Q={(1-t)a =tB}M=TR

Q=(1-t)AM+BM +Tr

=(1-t)(AM+Tr)+t(BM+Tr)

Q=(1-t)T(A)+tT(B)

Đây là phương trình đường thẳng T(A)T(B)

Tính chất 2 Bảo toàn tỉ lệ chia đoạn thẳng

Theo chứng minh tính chất 1 chia AB theo tỉ lệ t thì Q=T(P) cũng chia T(A)T(B) theo tỉ lệ t

Hay

Ảnh của 1 đa giác là 1 đa giác. Để tìm ảnh của đa giác ta chỉ cần tìm ảnh của các đỉnh rồi nối chúng lại.

Tính chất 3: Bảo toàn tính // của 2 đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng // L1 // l2; T

L1 p = A= betat

L2 P= Beta + betat

L1 Q=PM+Tr

Q = (A+betat)M+Tr

Q= AM= Tr = BetaMt

Q= T(A)+betaMt

Tương tự T(L2) Q = T(Beta)+betaMt

Vậy t(L1)//T(L2) vì có cùng vecto chỉ phương BetaM

Vậy ảnh của 1 hình bình hanh là 1 hình bình hành

Tính chất 4 Tính 2 phép affine là 1 phép affine

T1=(M1,Tr1):p->Q

T2=(M2,Tr2):Q->W

T=T2 or T1:p->W

Q=PM1 + Tr2

W=QM2 + Tr2

W= (PM1 + Tr1)M2 + Tr2

W= PM1M2 + Tr1M2 + Tr2

Vậy T là phép affine T=(M,Tr) với M=M1M2, Tr = Tr1M2 + Tr2

Tổng quát tích n phép affine

Ti + (Mi, Tri) I=1,n (gạch trên) là phép affine

T(M,Tr) với

M = M1M2 ...Mn

Tr= Trm2 ... Mn=Tr2M3...Mn+...+Trn-1Mn+Trn

Tính chất 5: Nghịch đảo phép affine là phép affine

T=(M,Tr) P->Q thì

T -1 trên Q->P

Q= PM + Tr => PM = Q - Tr

P = (Q-Tr)M -1 trên

P = AM-1 trên - TrM-1 trên

Vậy t-1 trên là phép affine T-1 trên = (M',Tr')

Với M' = M-1 trên

Tr' = - TrM-1 trên

Q= PM + Tr

M ma trân biến đổi

Tr vecto tinh tiến