Claro, el problema debe surgir porque no sabemos cuándo estamos diciendo el verbo haber. Sino sería muy fácil reconocer que va con H.

Recordemos:
📍HA proviene del verbo HABER ( por eso va con H)
📍A es una preposición y va sin H. Se refiere a ir hacia un lugar entre otros usos.
📍¡Ah! Es una interjección, gritó o exclamación.

Pensemos en qué estamos diciendo. 🤔

Significados a definir su ortografía.
👂🏼Va _ la cama -----> Va hacia la cama.
👂🏼_ hecho la cama ---> Haber hecho la cama.
👂🏼¡_! ¡Hizo la cama! ---> Oh! Uh! ¡Estoy asombrada! ¡Hizo la cama!

¿Cómo sabes a cuál te refieres?
1) Las haches al final se usan sólo en exclamaciones o interjecciones.
Uh! Augh! Oh!

CONCLUSIÓN:
¡Ah! Es una exclamación.

2) Usaremos el Método Nro 1)
✏️El verbo infinitivo ¿qué letra usaría con H o sin H?
El verbo infinitivo es haber y usaría H. Pero ¿dónde estoy usando el verbo haber y donde la preposición?

¿Puedes decir la frase usando el verbo infinitivo sin cambiar el significado?

👂🏼Va HABER la cama -----> Va hacia la cama
👂🏼HABER hecho la cama ---> Haber hecho la cama.
👂🏼¡HABER! ¡Hizo la cama! ---> Oh! Uh! ¡Estoy asombrada! ¡Hizo la cama!

¿Cuál mantiene su sentido?
CONCLUSIÓN:
📌Ha hecho la cama porque puedo reemplazar por el infinitivo y no cambia el sentido. El origen es el verbo Haber y por lo tanto es HA con H.

✏️TAMBIÉN podemos conjugar.
Conjuguemos:
Yo                Voy a la cama
Tú                Vas   a la cama
Él                 Va   A la cama
Nosotros Vamos a la cama
Vosotros  Vais a la cama
Ellos/Uds.  Van a la cama

¿Pudiste conjugar?

CONCLUSIÓN:
📌Por supuesto que no porque "a" no es un verbo. Es una preposición y no se conjuga.  Sólo conjugaste el verbo IR.

Conjuguemos:
Yo                HE  hecho la cama
Tú                HAS  hecho la cama
Él                 HA   hecho la cama
Nosotros.   HEMOS  hecho la cama
Vosotros     HABÉIS hecho la cama
Ellos/Uds.  HAN hecho la cama

Ha es la 3ra pers. del pretérito Perfecto Compuesto (COMPUESTO POR DOS VERBOS JUNTOS: HABER + participio pasado de HACER ).

CONCLUSIÓN:
📌Si puedes conjugarlo es un verbo y corresponde al verbo haber.

RESUMEN:
a) ¡Ah! Las haches al final se usan sólo en exclamaciones o interjecciones.
b) HA: Se puede conjugar porque es del verbo Haber y va con H.
c) A: No se puede conjugar porque es una preposición y va sin H.