CHƯƠNG II: CÁC CƠ SỞ CỦA ĐẶC TẢ

Các nội dung chính của chương:

II.1 Logic mệnh đề :2

II.1.1 Mệnh đề :2

II.1.2 Các phép toán trên mệnh đề:2

II.1.2.1 Phép phủ định :2

II.1.2.2 Phép nối liền (phép VÀ) :2

II.1.2.3 Phép nối rời ( phép HOẶC) :3

II.1.2.4 Phép kéo theo :3

II.1.2.5 Phép kéo theo 2 chiều :3

II.1.3 Dạng mệnh đề. 4

II.1.4 Tương đương logic:4

II.1.5 Hệ quả logic:5

II.1.6 Các nguyên tắc thay thế:5

II.1.7 Các quy luật logic:5

II.1.8 Các quy tắc suy diễn :8

II.2 LOGIC VỊ TỪ.. 9

II.2.1 Vị từ:9

II.2.2 Lượng từ:9

II.3 LÝ THUYẾT TẬP HỢP. 10

II.4 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG.. 11

II.1 LOGIC MỆNH ĐỀ

II.1.1 Mệnh đề

Là những phát biểu có giá trị chân lý xác định (hoặc đúng hoặc sai, chứ không thể vừa đúng vừa sai). Các mệnh đề đúng được nói là có giá trị chân lý đúng (hay chân trị đúng), các mệnh đề sai được nói là có chân trị sai.

Người ta thường dùng các chữ cái i n hoa P, Q, R,... để đặt tên cho các mệnh đề, dùng số 1 để chỉ chân trị đúng, số 0 để chỉ chân trị sai. Ngoài ra cũng có thể dùng 2 chữ cái in hoa là t, f để biểu diễn chân trị của một mệnh đề.

Ví dụ : Các phát biểu sau là những mệnh đề:

o   ‘ Môn đặc tả hình thức là môn học bắt buộc đối với sinh viên chuyên ngành CNPM’

o   ‘1+1= 2’

o   ‘7 là một số chẵn’

o   ‘4 là một số nguyên tố’

Phát biểu sau logic\không phải là mệnh đề:

o   ‘ n là một số nguyên tố’

Tuy nhiên, nếu ta thay n bằng một giá trị cụ thể nào đó thì nó sẽ trở thành mệnh đề.Những phát biểu dạng như thế được gọi là một vị từ, cũng là một đối tượng khảo sát trong phần sau của bài.

II.1.2 Các phép toán trên mệnh đề

II.1.2.1 Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề P, được ký hiệu là ­­­­­­­­­­­ØP (đọc là KHÔNG P). Chân trị của ØP  là 0 nếu chân trị của P là 1 và ngược lại.

P

ØP

0

1

1

0

II.1.2.2 Phép nối liền (phép VÀ):

Mệnh đề nối liển của hai mệnh đề phép P, Q được ký hiệu bởi P Ù Q (đọc là P VÀ Q). Chân trị của P Ù Q  là 1 nếu chân trị của cả P và Q đều bằng 1, trong tất cả các trường hợp còn lại, P Ù Q  có chân trị 0.

P

Q

P Ù Q

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

II.1.2.3 Phép nối rời ( phép HOẶC)

Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề phép P, Q được ký hiệu bởi P Ú Q (đọc là P HOẶC Q). Chân trị của P Ú Q  là 0 nếu chân trị của cả P và Q đều bằng 0, trong tất cả các trường hợp còn lại, P Ú Q   có chân trị 1.

P

Q

P Ú Q

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

II.1.2.4 Phép kéo theo

Mệnh đề nếu P thì Q được ký hiệu là P ® Q (đọc là P KÉO THEO Q). Bảng chân trị của mệnh đề này như sau :

P

Q

P ® Q

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

II.1.2.5 Phép kéo theo 2 chiều

Mệnh đề nếu P thì Q và ngược lại được ký hiệu P « Q (đọc là P KHI VÀ CHỈ KHI Q). Bảng chân trị của mệnh đề này như sau :

P

Q

P « Q

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

II.1.3 Dạng mệnh đề

Là các biểu thức logic được xây dựng bằng cách kết hợp các biến mệnh đề với nhau bởi các phép nối theo một thứ tự nhất định. Mỗi dạng mệnh đề có một chân trị xác định đối với từng bộ chân trị của các biến mệnh đề. Tập tất cả các chân trị của dạng mệnh đề ứng với từng chân trị của các biến mệnh đề lập thành bảng chân trị cùa dạng mệnh đề đó.

Ví dụ : Dạng mệnh đề: E(p, q, r) = p Ù (q Ú r) có bảng chân trị như sau :

p

q

r

q Ú r

E

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

Bài tập áp dụng : Lập bảng chân trị của các dạng mệnh đề sau :

a)     p ® (q Ùr)

b)     (p Ùq) Ú (p Ù r)

c)     (p Ùq) Ú (Øp Ù r)

d)     (p ® q) Ù (Øp ® r)

II.1.4 Tương đương logic

Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng một bảng chân trị. Khi ấy ta viết E Û F và mệnh đề dạng E « F luôn mang chân trị bằng 1 cho dù các biến có lấy giá trị nào đi nữa.

Ví dụ: Xét 2 mệnh đề: p ® q và Øp Ú q

p

q

Øp

p ® q

Øp Ú q

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

Như vậy ta nói 2 mệnh đề trên là tương đương logic, và được viết là:

(p ® q) Û (Øp Ú q)

II.1.5 Hệ quả logic

Dạng mệnh đề F được gọi là hệ quả logic của dạng mệnh đề E nếu E ® F luôn có chân trị đúng. Khi đó ta viết là E Þ F. Ta có thể nói cách khác : E có hệ quả logic là F.

II.1.6 Các nguyên tắc thay thế

1.      Quy tắc 1: trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E.

2.      Quy tắc 2: giả sử dạng mệnh đề E(p, q, r,…) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một dạng mệnh đề tuỳ ý F(p’, q’, r’,…) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến p, q, r,…, p’, q’, r’,… vẫn còn là một hằng đúng.

II.1.7 Các quy luật logic

Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng và 0 là hằng sai, ta có các tương đương logic như sau:

1.      Phủ định của phủ định

ØØp Û q

2.      Quy tắc De Morgan

Ø(p Ù q) Û Øp Ú Øq

và        Ø(p Ú q) Û Øp Ù Øq

3.      Luật giao hoán

p Ù q Û q Ù p  

và        p Ú q Û q Ú p

4.      Luật kết hợp

p Ù (q Ù r) Û (p Ù q) Ù r

 và       p Ú (q Ú r) Û (p Ú q) Ú r

5.      Luật phân bổ

p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)

 và       p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r )

6.      Luât luỹ đẳng

            p Ù p Û p

và        p Ú p Û p

7.      Luật trung hoà

            p Ù 1 Û p

và        p Ú 0 Û p

8.      Luật về phần tử bù

            p Ù Øp Û 0

và        p Ú Øp Û 1

9.      Luật thống trị

            p Ù 0 Û 0

và        p Ú 1 Û 1

10.Luật hấp thụ

p Ù (p Ú q) Û p

 và       p Ú (p Ù q) Û p

Ví dụ 1: Hãy chứng minh dạng mệnh đề sau là một hằng đúng:

[(r® s) Ù [(r ®s) ®(Øt Ú u)]] ® (Øt Ú u)

Chứng minh:

Thay r ® s bởi p và Øt Ú u bởi q, ta đưa về bài toán chứng minh dạng mệnh đề sau là một hằng đúng:

                        [p Ù (p ® q)] ® q

Ta có:             [p Ù (p ® q)] ®q

                        Û [p Ù (Øp Ú q)] ® q

                        Û [(p Ù Øp) Ú (p Ù q)] ®q

                        Û [0 Ú (p Ù q)] ® q

                        Û (p Ù q) ® q

                        Û Øp Ú Øq Ú q

                        Û Øp Ú 1

                        Û 1

Ví dụ 2: Từ (p Ùq) ® r, ta có:

                        (p Ùq) ® r

                        Û Øp Ú Øq Ú r

Û Øp Ú (Øq Ú r)

Û p ® (Øq Ú r)

Û p ®(q ® r)

Như vậy : (p Ù q) ® r Û p ® (q ® r)

Áp dụng vào lập trình, xét 3 đoạn chương trình sau :

Đoạn chương trình 1:

            int x, y, z = 3

     for (i=1 ; i<=10 ; i++)  {

          x = z – i ;

          y = z + 2*i ;

          if ((x > 0) && (y > 0)

printf (‘‘x + y = %d

’’, x + y) ;

     }

Đoạn chương trình 2:

            int x, y, z = 3

     for (i=1 ; i<=10 ; i++)  {

          x = z – i ;

          y = z + 2*i ;

          if (x > 0)

if  (y > 0)

printf (‘‘x + y = %d

’’, x + y) ;

     }

Đoạn chương trình 3:

            int x, y, z = 3

     for (i=1 ; i<=10 ; i++)  {

          x = z – i ;

          y = z + 2*i ;

          if (y > 0)

if (x > 0)

printf(‘‘x + y = %d

’’, x + y) ;

     }

Số lần thực hiện phép so sánh của đoạn chương trình trên có sự khác nhau : ở (1) là 20 lần (10 phép so sánh x và 10 phép so sánh y) ; ở (2) chỉ là 12 lần (10 phép so sánh x và 2 lần so sánh y ứng với i = 1 và i = 2) ; ở (3) thì vẫn lại là 20 lần.

II.1.8 Các quy tắc suy diễn

1.      Modus Ponens (khẳng định)

[(p ® q) Ù p] Þ q

2.      Syllogism (Tam đoạn luận)

[(p ® q) Ù (q ® r)] Þ (p ® r)

3.      Modus Tollens (phủ định)

[(p ® q) Ù (Øq] ÞØp

4.      Tam đoạn luận rời

[(p Ú q) ÙØp] Þ q

5.      Quy tắc mâu thuẫn

[(p1 Ù p2 Ù … Ù pn) ® q] Û [(p1 Ù p2 Ù …Ù pn ÙØq) ® 0]

6.      Quy tắc chứng minh theo trường hợp

[(p ® r) Ù (q ® r)] Þ (p Ú q) ® r)

Ví dụ: Chứng minh f(n) = n3 + 2n luôn chia hết cho 3.

Ta có: f(n) = n(n2 + 2). Lấy n là một số nguyên tuỳ ý, khi đó có 2 trường hợp xảy ra :

TH1 : n chia hết cho 3, như vậy dễ thấy f(n) chia hết cho 3. (1)

TH2: n không chia hết cho 3, khi đó đặt n = 3k ± 1 (k là số nguyên nào đó), ta có:                         n2 + 2 = (3k ± 1)2 + 2

                                    = 9k2± 6k + 3

                                    = 3(k2± 2k +1)

            suy ra f(n) cũng chia hết cho 3. (2)

Từ (1) và (2), ta kết luận f(n) chia hết cho 3 trong mọi trường hợp.

II.2 LOGIC VỊ TỪ

II.2.1 Vị từ

Là một khẳng định p(x, y,…) trong đó có chứa một số biến x, y, ... lấy giá trị trong những tập hợp cho trước A,B,... sao cho:

a)     Bản thân p(x, y,...) không phải là một mệnh đề.

b)     Nếu thay x, y,… bằng những phần tử cố định nhưng tuỳ ý aÎ A, bÎ B,…thì ta được một mệnh đề p(a, b,…), tức là chân trị của nó hoàn toàn xác định. Khi đó x, y,… gọi là các biến tự do của vị từ.

Nói một cách khác, một vị từ là một hàm số dạng:

                  f: X® B

trong đó: X = A ´ B ´ … và B = {0, 1}

Ví dụ: p(n) = ‘‘n là một số nguyên tố’’ là một vị từ theo một biến tự do nÎN.

                  f: N ® B

Với n = 2, 5, 7, 11 ta có các mệnh đề đúng p(2), p(5), p(7), p(11) : còn với n = 4, 8 thì ta có các mệnh đề sai p(4), p(8).

II.2.2 Lượng từ

Giả sử p(x) là vị từ theo một biến tự do xÎA, khi đó có 3 trường hợp có thể xảy ra :

TH1 : khi thay x bởi một phần tử bất kỳ aÎ A, ta đều được mệnh đề đúng p(a).

TH2 : với một (hoặc một số) giá trị aÎ A thì p(a) là mệnh đề đúng, và với một số giá trị bÎ A thì p(b) là mệnh đề sai.

TH3 : khi thay x bởi một phần tử bất kỳ aÎ A, ta đều được mệnh đề sai p(a).

Đối với TH1 thì mệnh đề ‘‘với mọi xÎ A, p(x)’’ là một mệnh đề đúng, ký hiệu bởi ‘‘"xÎ A, p(x)’’. Bản chất của mệnh đề này là phép VÀ (Ù)

Nếu TH1 hoặc TH2 xảy ra thì mệnh đề ‘‘tồn tại xÎ A, p(x)’’ là một mệnh đề đúng, ký hiệu bởi ‘‘$ x Î A, p(x)’’. Bản chất của mệnh đề này là phép HOẶC (Ú)

Các mệnh đề "xÎ A, p(x) và $ x Î A, p(x) được gọi là lượng từ hoá của vị từ p(x) bởi lượng từ phổ dụng (") và lượng từ tồn tại ($).

Chú ý:

a)     Trong mệnh đề lượng từ hoá, x không còn là biến tự do nữa mà nó bị ràng buộc bởi các lượng từ.

b)     TH3 ở trên có thể được viết lại : "xÎ A,Øp(x). Như vậy, phủ định của mệnh đề "x Î A, p(x) xảy ra khi TH2 hoặc TH3 xảy ra,tức là mệnh đề $x Î A, Øp(x) là mệnh đề đúng. Rút ra :

            Phủ định của "x $ A, p(x) là mệnh đề $x Î A,Øp(x)

            Phủ định của $xÎ A, p(x) là mệnh đề "xÎA, Øp(x)

II.3 LÝ THUYẾT TẬP HỢP

Ở đây ta chỉ nhắc lại một số khái niệm cơ bản nhất, cũng như các ký hiệu dùng trong lý thuyết tập hợp mà thôi :

a)     Nếu a là một phần tử thuộc tập hợp A, ta viết a Î A, ngược lại ta viết a Ï A.

b)     Tập hợp A thoả một tính chất nào đó, tính chất ở đây được biểu diễn dưới dạng một vị từ p(x), ta viết : A = {xÎ U /p(x)}, trong đó U được gọi là tập vũ trụ.

Ví dụ :

                     A = {xÎ N / x là số nguyên tố}

                     A = {xÎ Z / x2 <5}

c)     Ngoài ra có thể biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó, ví dụ 2 ở trên có thể được viết lại A = {-2, -1, 0, 1, 2}

d)     Tập hợp không có phần tử nào cả gọi là tập hợp rỗng, được ký hiệu là Æ

e)     Giả sử A và B là 2  tập hợp con của tập vũ trụ U, ta nói A là tập con của B ( hay A được bao hàm trong B, hay B bao hàm A), ký hiệu A Ì B nếu:

                              "x Î U,(x Î A) Þ (x Î B)

f)      Nếu A Ì B và B Ì A, ta nói A bằng B, được ký hiệu A = B. Như vậy rõ ràng A = B khi và chỉ khi:

                              "x Î U, (x Î A) Û (x Î B)

g)     Hợp (È) , giao (Ç) và phần bù của tập hợp:

                  A È B = {x Π U/ (x Î A) Ú (x Î B)}

                  A Ç B = {x Î U / (x Î A) Ù (x Î B)}

                  Ā = {x Î U / (x ÏA)}, Ā được gọi là phần bù của A trong U.

h)     Một số tính chất trên tập hợp: Cho A, B, C là các tập con tuỳ  ý của U, ta có:

i.        Tính giao hoán:

                        A È B = B È A

                        A Ç B = B Ç A

ii.     Tính kết hợp:

A È (B È C) = (A È B) È C

A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C

iii.   Luật De Morgan:

A È B = Ā Ç'B

A Ç B = Ā È'B

iv.   Tính phân bố:

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

v.      Phần tử trung hoà:

A È Æ = A

A Ç U = A

vi.   Phần bù:

A È Ā = U

A Ç Ā = Æ

vii.Tính thống trị:

A È U = U

A Ç Æ = Æ

II.4 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG

1)     Hãy lấy phủ định của các mệnh đề sau:

a)     Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thì tôi sẽ không ra ngoài.

b)     15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4

c)     Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải là hình thoi.

d)     Mọi tam giác đều có các góc bằng 600.

2)     Lập bảng chân trị cho các mệnh đề sau:

a)     Øp ® (p Ú q)

b)     Øp ® (Øp Ú r)

c)     (p Ú q) ® Øq

d)     (p Ú r) ® (r Ú Øp)

e)     (p ®q) Ú (q® p)

f)      (p Ú Øq) Ù (Øp Ú q)

g)     (p ® Øq) Ú (q ® Øp)

h)     Ø(Øp Ù Øq)

3)     Hãy chỉ ra các hằng đúng trong các dạng mệnh đề sau:

a)     (p Ú q) ® (p Ù q)

b)     (p Ù q) ® (p Ú q)

c)     (p ® (Øq ® p)

d)     p ® (p ® q)

e)     p ® (p ® p)

f)      (p ® q) ® [(q ® r) ® (p ® r)]

4)     Trong các khẳng định sau, hãy chỉ ra các khẳng định đúng:

a)     p Þ p ® q

b)     Ø(p ® q) Þ p

c)     (p Ù q) Ú r Þ p Ù (q Ú r)

d)     (p ® q) Ù (q ® r) Þ p ® (q ® r)

e)     (p ® (q ® r) Þ p ® r

f)      (p ® (q Ù r) Þ p ®q

g)     (p Ù q) ® r Þ (p ® r) Ù (q ® r)

h)     (p ® (q Ú r) Þ (p ® q) Ú (p ® r)

i)       (Øp ® q) Ú (p ® Øq) Þ p Ù q

5)     Lấy phủ định rồi đơn giản các mệnh đề sau:

a)     p Ù (q Ú r) Ù (Øp Ú Øq Ú r)

b)     (p Ù q)® r

c)     p ® (Øq Ù r)

d)     p Ú q Ú (Øp Ù Øq Ù r)

6)     Cho biết suy luận nào trong các suy luận sau đây là đúng và quy tắc suy diễn nào đã được sử dụng?

a)     Điều kiện đủ để CSG thắng trận là đối thủ đừng gỡ lại vào phút cuối.

Mà CSG đã thắng trận

Vậy đối thủ của CSG không gỡ lại vào phút cuối

b)     Nếu Minh giải được bài toán thứ tư thì em đã nộp bài trước giờ quy định.

Mà Minh đã không nộp bài trước giờ quy định

Vậy Minh không giải được bài toán thứ tư

c)     Nếu lãi suất giảm thì số người gửi tiết kiệm sẽ giảm.

Mà lãi suất đã không giảm

Vậy số người gửi tiết kiệm không giảm

d)     Nếu được thưởng cuối năm Hà sẽ đi Đà Lạt.

      Nếu đi Đà Lạt Hà sẽ ghé thăm Suối Vàng

      Do đó nếu được thưởng cuối năm Hà sẽ đi thăm Suối Vàng.

7)     Hãy kiểm tra các suy luận sau có đúng không

a)     Nếu An được lên chức và làm việc nhiều thì An sẽ được tăng lương

      Nếu được tăng lương An sẽ mua xe mới

      Mà An không mua xe mới

      Vậy An không được lên chức hay An không làm việc nhiều

b)     Nếu muốn dự họp sáng thứ 3 thì Minh phải dậy sớm

      Nếu Minh đi nghe nhạc tối thứ 2 thì Minh sẽ về trễ

      Nhưng Minh không thể đi họp nếu ngủ dưới 7 giờ

      Do đó hoặc là Minh không đi nghe nhạc tối thứ 2 hoặc là Minh phải bỏ họp sáng thứ 3

c)     Nếu Bình đi làm về muộn thì vợ anh ta sẽ rất giận dữ

      Nếu An thường xuyên vắng nhà thì vợ anh ta sẽ rất giận dữ

      Nếu vợ Bình hoặc vợ An giận dữ thì cô Hà bạn họ sẽ nhận được những lời than phiền

      Mà Hà đã không nhận được lời than phiền

      Vậy Minh đi làm về sớm và An ít khi vắng nhà

8)     Lấy phủ định của các mệnh đề sau:

a)     Với mọi số nguyên n, nếu n không chia hết cho 2 thì n là số lẻ

b)     Nếu bình phương của một số nguyên tố là lẻ thì số nguyên ấy là lẻ.

c)     Nếu k, m, n là số nguyen sao cho k – m = m – n là số lẻ thì k – n là số chẵn

d)     Nếu x là một số thực sao cho x2 >16 thì x <-4 hay x >4

e)     Với mọi số thực x, nếu ú x -3ú < 7 thì – 4 < x <10

9)     Lớp phân tích thuật toán có 110 sinh viên ghi tên học, trong đó có:

o   15 sinh viên Toán – Tin học năm thứ 3

o   5 sinh viên Toán năm thứ 3

o   25 sinh viên Toán – Tin học năm thứ 4

o   5 sinh viên Toán năm thứ 4

o   50 sinh viên Công nghệ thông tin năm thứ 4

o   5 sinh viên Toán – Tin học Cao học

o   5 sinh viên Công nghệ thông tin Cao học

                  Xét các vị từ:

                        l(x): sinh viên x theo học môn phân tích thuật toán

                        b(x): x là sinh viên năm thứ 3

                        c(x) : x là sinh viên năm thứ 4

                        d(x) : x là sinh viên cao học

                        r(x) : x là sinh viên công nghệ thông tin

                        s(x) : x là sinh viên Toán – Tin

                        r(x) : x là sinh viên Toán

                  Hãy viết lại các mệnh đề dưới đây dưới dạng lượng từ hoá:

a)     Có sinh viên toán năm thứ 3 trong lớp phân tích thuật toán

b)     Có sinh viên trong lớp không phải là sinh viên CNTT

c)     Mọi sinh viên trong lớp là sinh viên Toán – Tin học hay CNTT

d)     Không có sinh viên cao học toán trong lớp phân tích thuật toán

e)     Mọi sinh viên năm thứ 3 trong lớp thuộc ngành Toán hay Tin học

f)      Có sinh viên ở trường không thuộc ngành Toán – Tin học và cũng không thuộc ngành CNTT

10)Xác định suy luận đúng trong số các suy luận dưới đây. Cho biết quy tắc suy diễn đã được áp dụng :

a)     Mọi người đưa thư đều mang theo túi thư

An là một người đưa thư

Vậy An mang theo túi thu

b)     Mọi công dân tốt đều đóng thuế

Ông Bình đã đóng thuế

Vậy ông Bình là một công dân tốt

c)     Mọi người quan tâm đến môi trường đều để riêng các túi nhựa bỏ đi

Hà không quan tâm đến môi trường

Suy ra Hà không để riêng các túi nhựa bỏ đi

d)     Mọi sinh viên nghiêm túc đều không nộp bài chưa làm xong

Minh không nộp bài chưa làm xong

Vậy Minh là sinh viên nghiêm túc

11) Cho:

a là 1 mảng các số nguyên có n phần tử (n³0)

Ký hiệu a[i] là phần tử thứ i trong mảng (0 £ i <n)

x, y, z là các số nguyên

     Hãy dùng logic vị từ đặc tả các phát biểu sau:          

a)     Mảng a không có số âm

b)     Mảng a có ít nhất 1 số âm

c)     Mảng a có nhiều nhất 1 số âm

d)     Mảng a có đúng 1 số âm

e)     Mảng a có nhiều nhất 2 số âm

f)      Mảng a có đúng 2 số âm

g)     Mảng a có thứ tự tăng dần

h)     Các số dương của mảng a có thứ tự tăng

i)       Các số chẵn ở đầu mảng và có thứ tự tăng, các số lẻ ở cuối mảng và có thứ tự giảm

j)       Mảng a không có số 0 và các số dương âm xen kẽ nhau

k)     x, y, z có mặt đồng thời trong a

l)       x, y không xuất hiện đồng thời trong a

m)   x, y có liên tiếp trong a

n)     x, y, z lần lượt xuất hiện trong a theo thứ tự đó

o)     x, y, z không có liên tiếp trong a

12) Cho a, b là 2 mảng số nguyên kích thước tương ứng là m và n. Hãy dùng logic vị từ đặc tả các phát biểu sau:

a)     a là hoán vị của b

b)     a chứa hoàn toàn trong b

c)     a, b không có phần tử chung

d)     a, b có chung tập hợp các phần tử