BÀI TẬP TOÁN CHƯƠNG : 2

Định thức - ma trận .

Bài 1 :Giải hệ pt sau bằng công thức Cramen

{ 2x1 + x2 - x3 = 1

{ x1 - x2 + x3 = -1

{ 3x1 + 2x2 + x3 = 0

Giải

Ta có : 2 1 -1

A = 1 -1 1

3 2 1

Det( A) = -9 =/ 0

1 1 -1

A1 = -1 -1 1

0 2 1

=> det(A1) = 0, => det(A2) = -3 , => det(A3) = 6

Hệ đã cho có nghiệm duy nhất :

x1 = det(A1)/ det(A) = 0,

x2= det(A2)/ det(A) = 1/3

x3= det(A3)/ det(A) = -2/3

=> ( x1=0,x2= 1/3, x3= -2/3 )

Bài : 2 : CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất nếu a,b,c,d không đồng thời bằng không .

{ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0

{bx1 - ax2 +dx3 - cx4 = 0

{cx1 - dx2 - ax3 + bx4 = 0

{dx1 + cx2 - bx3 - ax4 = 0

Giải

Hệ trên có nghiệm duy nhất det(A) =/ 0 với

A = .......

Ta có det(A) = a [ ] - b [ ] + c [ ] - d [ ] = - a^2 ( a^2 + b^2 +c^2 +d^2) - b^2 ( a^2 + b^2 +c^2 +d^2) - c^2 ( a^2 + b^2 +c^2 +d^2) - d^2 ( a^2 + b^2 +c^2 +d^2) = - ( a^2 + b^2 +c^2 +d^2)^2 =/ 0 Khi a,b,c,d không đồng thời bằng không.

Bài 3 : Giải pt dạng ma trận :

AX = B => X = A^-1 . B

hoặc XA = B => B . A^-1

VD : Tìm ma trận X biết :

[ 2 5 , 1 3] X = [ 4 -6 , 2 1 ]

Ta có det (A) = -1 =/0

C11 = (-1_^2

BÀI TẬP TOÁN CHƯƠNG : 3

KHÔNG GIAN VECTƠ

Bài1:

Cho cơ sở của R^2, B = {u1,u2}, B'= {v1,v2}

u1(2,2),u2(4,-1), v1(1,3), v2 (-1,-1)

a: Tìm ma trận chuyển từ B sang B'

b: Tính [ W]B , rồi suy ra [ W]B' biết W= (3,-5)

Lời giải:

P = [ [v1]B [v2]B ]

[ c1 ]

[v1]B = [ c2 ] thỏa mãn

c1u1 + c2u2 = v1 = ( 1,3 )

{ 2c1 + 4c2 = 1

{ 2c1 - c2 = 3

{ c1 = 13/10

{ c2 = -2/5

[v1]B =

[ a1 ]

[v2]B = [ a2 ] thỏa mãn

a1v1 + a2v2 = v2 = (-1,-1)

{ 2a1 + 4a2 = -1

{ 2a1 - a2 = -1

{ a1 = -1/2

{ a2 = 0

= > [v2]B

= > P = [ 13/10 -1/2 ]

[ -2/5 0 ]

b: [ b1 ]

[W]B = [ b2 ] thỏa mãn

b1u1 + b2u2 = W

{ 2b1 + 4b2 = 3

{ 2b1 - b2 = -5

{ b1 = -17/10

{ b2 = 8/5

[-17/10]

[W]B = [ 8/5 ]

[W]B' = P^-1 [W]B

Det(P) = [ 13/10 -1/2 ]

[ -2/5 0 ]

= -1/5 =/ 0

c11 = (-1)^2 . 0 = 0 c12 = (-1)^3 . (-2/5) = 2/5

c21 = (-1)^3 . (-1/2) = 1/ 2 c22 = (-1)^4 . 13/10 = 13/10

BÀI TẬP TOÁN CHƯƠNG : 4

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Bài 1 :

Xét ánh xạ T : R^2 => R^3 xác định bởi công thức :

T(x,y) = ( x, x+y, x-y) . Hỏi T có là 1 axtt ko?

Lời giải :

Lấy u thuộc R^2 => u(x1,x2)

v thuộc R^3 => v(y1,y2)

=> u+v = 9x1+y1,x2+y2)

T(u+v) = T(x1+y1,x2+y2) = ( x1+y1, x1+y1+x2+y2, x1+y1-x2-y2) = (x1, x1+x2, x1-x2) + ( y1, y1+y2, y1-y2 ) = T(u) +T(v) (1)

T(ku) = T(kx1,kx2) = (kx1; kx1+kx2; kx1-kx2) = k (x1, x1+x2, x1-x2) = kT(u)

Vậy T là một ánh xạ tuyến tính .

Bài 2 :Cho T : R^2 =>R^3 là 1 axtt xác định bởi T (x1,x2) = (x1+2x2, -x1, 0).

Tìm ma trận của axtt đối với B = {u1,u2} thuộc R^2.

Với u1(1,3) , u2(-2,4)

B' = {v1, v2, v3} thuộc R^3 với v1(1,1,1) , v2(2,2,0) , v3(3,0,0)

Lời giải:

A = [ [T(u1)]B' [ T(u2)]B' ]

*Tìm ảnh của T(u1) = T(1,3) = (7,-1,0 )

[ c1 ]

[T(u1)]B' = [ c2 ]

[ c3 ]

Thỏa mãn : c1v1 + c2v2 +c3v3 = T(u1)

c1(1,1,1) + c2( 2,2,0) + c3(3,0,0) = ( 7,-1,0 )

{ c1 + 2c2 +3c3 = 7

{ c1 + 2c2 = -1

{ c1 = 0

{c1 =0

{ c2 = -1/2

{ c3 = 8/3

[ 0 ]

=> [T(u1)]B' = [ -1/2 ]

[ 8/3 ]

T(u2) = T (2,4) = (6,2,0)

[ b1 ]

[T(u2)]B' = [ b2 ]

[ b3 ]

Thỏa mãn : b1v1 + b2v2 +b3v3 = T(u1)

b1(1,1,1) + b2( 2,2,0) + b3(3,0,0) = (6,2,0)

{ b1 + 2b2 +3b3 = 6

{ b1 + 2b2 = 2

{ b1 = 0

{b1 = 0

{ b2 = 1

{ b3 = 4/3

[ 0 ]

[T(u2)]B' = [ 1 ]

[ 4/3 ]

Suy ra

[ 0 0 ]

A= [-1/2 1 ]

[8/3 4/3 ]

Bài 3 :

Cho tttt T:R^3 => R^3 xác định bởi

T(x1,x2,x3) = (x2-x1, x1-x2, x1-x3) và cơ sở u(u1,u2,u3)

Với u1(1,0,1), u2(0,1,10 , u3( 1,1,0)

- Tìm ma trận của A đối với U.

- Tìm ker(T)

Lời giải :

A = [ [T(u1)]u [ T(u2)]u [ T(u3)]u ]

T(u1) = T (1,0,1) = (-1,1,0)

T(u2) = T (0,1,1) = (1,-1,-1)

T(u3) = T (1,1,0) = (0, 0, 1)

Giống bài trên:

Bài 4 :

Cho S = { u1,u2,u3 } con của R^3

u1(1,2,1) , u2(2,9,0) , u3( 3,3,4)

a: chứng minh S là một cơ sở của R^3

b: tìm véctơ tọa độ và ma trận tọa độ của v =(5,-1,9) đối với S

c: Tìm W thuộc R^3 có (W)s = (-1,3,2)

Lời giải: a:

Xét [ 1 2 3 ]

Det(A) = [ 2 9 3 ] = -1 =/ 0

[1 0 4 ]

=> họ S là 1 cơ sở của R^3

b: (v)s = (c1,c2,c3) thỏa mãn:

c1u1+c2u2+c3u3 = v

= > c1=1, c2= -1, c3 = 2

[ 1 ]

(v)s = [ -1 ]

[ 2 ]

c: cho (W)s = (-1,3,2) = (a1,a2,a3) thỏa mãn

a1u1+a2u2+a3u3 = W

-1 (1,2,1) + 3(2,9,0) + 2( 3,3,4) = W

= > W = (11, 31, 7)