Giả sử chồn một phôi hình trụ đường kính d, chiều cao h, hệ số ma sát trên bề mặt tiếp xúc giữa vật biến dạng và dụng cụ là f

Tách từ phôi biến dạng một phân tố vô cùng bé để khảo sát. Phân tố đc giới hạn bởi 2 mp hướng tâm giao nhau một góc α và 2 mặ cung đồng tâm. Phân tố nằm ở trạng thái cân bằng nên tổng hình chiếu của tất cả các lực tác dụng lên phân tố trên một trục X – X bất kỳ bằng 0, nghĩa là:

σ2.x.α.h – (σ­2 + dσ2).(x + dx).α.h + 2σ3.sin(α/2).h.dx - 2σ1.f.x.α.dx = 0

Với các chú ý sau đây

- Vì α rất nhỏ nên sin(α/2) ≈ α/2

- Vì biến dạng là đối xứng nên σ2 = σ3

Sau khi biến đổi biểu thức biểu diễn pt cân bằng trên ta đc phương trình cân bằng có dạng rút gọn

dσ2 = -2σ1.f

Phương trình vi phân cân bằng trên có 2 ẩn số là σ2, σ1. Để giải đc pt và tìm được nghiệm theo σ­1 cần phải dựa vào 1 pt bổ sung là pt dẻo. Đối với trường hợp đang khảo sát pt dẻo có dạng sau:

σ1 – σ2 = σch

σch giới hạn chảy của vật liệu

Kết hợp giải 2 pt ta đc

(dσ2/(σ2 – σch)) = -2f(dx/h)

Tích phân pt ta nhận đc

ln(σ2 + σch) = -2(f/h).x + C

hay

σ2 + σch = C.emũ((-2f/h).x)

Khi x = σ2 thì d/2 = 0 nên C = σch.e

Vậy (2f/h).(d/2 – x)

σ2 + σch = σch.e

Vì theo phương trình dẻo σ1 = σ2 + σch

Nếu cuối cùng có đc biểu thức tính áp lực đơn vị khi chồn phôi σ1 phân bố trên bề mặt tiếp xúc giữa phôi và dụng cụ phụ thuộc vào tọa độ x:

2(f/h).(d/2 – x)

σ1 = σch.e

Để xác định áp lực đơn vị K, ta thực hiện:

Lực tác dụng trên hình vành khăn của phấn tố tách ra theo hướng chồn (hướng Z) là:

dP = σ1.2π.x.dx

Lực t/d trên toàn bề mặt tiếp xúc giữa phôi và dụng cụ theo hướng chồn Z (lực chồn) là:

P = ʃdP = σ1.2π.x.dx

Áp lực đơn vị trung bình:       K = P/F = (4P/(πd2))

Giải tích phân và thay các giá trị vào ta nhận đc biểu thức tính  áp lực đơn vị K:

K = 2σch.(h2/(f2.d2)).(emũ(fd/h) – (fd/h) – 1)

Khi d/h ≥ 2 có thể dùng công thức tính áp  lực đơn vị K đơn giản như sau:

K = σch­.(1 + (f/3).(d/h))